中国近三百年学术史十六清代学者整理旧学之总成绩（四）(3)

十六清代学者整理旧学之总成绩（四）(3)

　　清季承学之士，喜言西学为中国所固有，其言多牵强附会，徒长笼统嚣张之习，识者病焉。然近世矫其弊者，又曾不许人稍言会通，必欲挤祖国于未开之蛮民，谓其一无学问，然后为快。嘻！抑亦甚矣。人智不甚相远，苟积学焉，理无不可相及，顽固老辈之蔑视外国，与轻薄少年之蔑视本国，其误谬正相等。质而言之，蔽在不学而已。他勿具论，即如算术中之天元、四元，苟稍涉斯学之樊者，宁能强词斥之谓为无学问上之价值？又宁能谓此学非我所自有？清圣祖述西士之言，谓借根为“东来法”。英人伟烈亚力，与李壬叔同事译业者也，深通中国语言文字，能读古书，其所著《数学启蒙》第二卷有“开诸乘方捷法”一条，缀以按语云：“无论若干乘方，且无论带纵不带纵，俱以一法通之，故曰捷法。此法在中土为古法，在西土为新法，上下数千年，东西数万里，所造之法若合符节。信乎！此心此理同也。”夫伟力是否谰言，但用天元一试布算焉，立可决矣。竺旧之儒，必谓西法剽窃自我，如梨洲所谓“汶阳之田可复归”，诚为夸而无当。然心同理同之说，虽好自贬者亦岂能否认耶？是故如魏文魁、杨光先之流，未尝学问，徒争意气，吾辈固当引为大戒。乃若四香、茗香、壬叔诸贤，真所谓“旧学商量加邃密，新如涵养转深沈”，盖于旧学所入愈深，乃益以促其自觉之心，增其自壮之气，而完其独立发明之业，则温故不足以妨知新，抑甚明矣！而最损人神智者，实则在“随人脚跟，学人言语”，不务力学，专逐时谈之习耳。世之君子，宜何择焉？

　　清代算学，顺康间仅消化西法，乾隆初仅杂释经典。其确能独立有所发明者，实自乾隆中叶后，而嘉、道、咸、同为盛。推厥所由，则皆天元、四元两术之复活有以牖之。徐文定所谓“会通以求超胜”，盖实现于百余年后矣。今刺举其发明之可纪者如下：

　　一、明静庵安图之割圜密率捷法。梅玉汝《赤水遗珍》，载有西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法，唯所以立法之原则秘而不宣。至汪孝婴疑其数为偶合。静庵积思三十年，创为此法与解，用连比例术，以半径为一率，设弧共分为二率：二率自乘，一率除之，得三率；以二率与三率相乘，一率除之，得四率。由是推之，三率自乘，一率除之，得五率。……虽至亿万率，胥如是。罗茗香评之曰：“西法之妙，莫捷于对数；对数之用，莫便于八线。……考对数之由来，亦起于连比例，又安知当日立八线表时，不暗用此法推算耶？”

　　二、孔巽轩之三乘方以上开方捷法及割圜四例。巽轩为戴东原高弟子，研究秦李之书，精通天元。梅定九著《少广拾遗》，云三乘方以上不能为图。巽轩独抒新意，取幂积变为方根，使诸乘皆可作平方观，制《诸乘方廉隅图》，俾学者知方广稠叠所由生。又立割圜四例，其说在明氏捷法未显之先，而间与暗合，所著书名《少广正负术内外篇》六卷。

　　三、李四香之《方程新术草》。因梅氏未见古《九章》，其所著《方程论》，囿于西学，致悖直除之旨，乃寻究古义，采索本根，变通简捷，以成新术。辨天元与借根之异同，梅玉汝言借根即天元，大致固不谬。四香更辨析天元之相消，有减无加，与借根方之两边加减微异。发明开方正负定律。梅氏言开方，专宗《同文算指》《西镜录》之西法，初不知立方以上无不带纵之方。故所著《少广拾遗》，立开一乘方以至开十二乘方法，枝枝节节，窒碍难通。四香读秦道古书，阐明超步退商、正负加减、借一为阳诸法，为《开方说》三卷。

　　四、黎见山应南之求勾股率捷法。见山，四香弟子。此捷法乃推阐天元通分而成。任设奇偶两数，各自乘，相并为弦，相减为勾，或为股；副以两数相乘，倍之为股，或为勾。若任设大小两奇数或偶数，各自乘，则相并半之为勾，或为股，其两数相乘即为股，或为勾，所得勾股弦皆无零数。

　　五、汪孝婴之发明天元一正负开方之可知不可知。四香发明正负开方定律，少广之学大明。孝婴读秦李书，知有不可知之数，乃自二乘方以下推之得九十五条。其说与四香似立异，故当时有汪李齮龁之谣，焦里堂既辨之矣。四香后读其书而为之跋，括为三例以证明之，谓：偶实同名者不可知；偶实异名而从廉正负不杂者可知；偶实异名而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。又谓己所言“一答与不止一答”，与汪言之“可知不可知”，义实相通云。

　　六、董方立之发明割圜连比例术。此亦因杜德美之圆径求周术语焉不详，欲更创通法，使弦矢与弧可以径求。时明静庵之密率捷法未传于世。方立覃思独创，与明氏同归而殊涂，盖以圜容十八觚之术，引申类长，求其累积，实兼差分之列衰、商功之堆垛，而会通以尽勾股之变。自谓奇偶相生，出于自然，得此术而方圆之率通云。

　　七、徐君青之发明屡乘屡除的对数，对数表传自西人，云以屡次开方而得其数。君青以屡除屡乘法御之，得数巧合而省力百倍。研究测圜密率，以屡乘屡除法，递求正负诸差，而加减相并，便得所求。发明开圜求周术，椭圆求周，无法可驭。借平圜周求之，则有三术。项梅侣、戴鄂士各立一术。君青以椭周为圜周，求其经以求周，即为椭圜之周。最直捷。李壬叔谓其驾过西人远甚。发明造各表简法。君青以对数表等为用最大。惜创造之初，取径纡回，布算繁赜，不示人以简易之方，如八线对数表，至今无人知其立表之根，因读《四元玉鉴》，究心于垛积招差之法，推诸割圆诸术，无所不通。盖垛积者递加数也，招差者连比例也。合二术以施之割圜，六通四辟，而简易之法生焉。乃集杜德美、董方立、项梅侣、戴鄂士、李壬叔诸家之说而折衷之，简益求简，凡立五术。

　　八、戴鄂士之发明对数简法，其术在舍开方而求假设数；复有续编，专明对数根之理。徐君青为之序，谓与李壬叔《对数探原》同为不朽之业。发明外切密率，此亦割圜率中之一种。自杜、董递启割圜之秘，项梅侣、李壬叔皆有所增益。惜杜氏有弦矢术而无切割术，李氏有其术而分母分子之源未经解释。鄂士谓弦矢与切割本可互为比例，……以比例所得之率数乘除法，乘除弧背，其求得之数，必仍为比例所得之切割。乃本此意以立术。发明假数测圆。专以负算阐对数，发前人未发之蕴。

　　九、邹特夫之发明乘方捷术。此亦研究对数之书，隐括董方立、戴鄂士之说，立开方四术。其于讷白尔表，以连比例乘除法，径开一无量数乘方以求之，又立求对数较四术以求之，亦用连比例一以贯之，立术最为简易。盖以徐君青、李壬叔之术，操数各殊，唯夏紫笙略近而更为精密云。创造对数尺。因对数表而变通之为算器，画数以两尺，相并而伸缩之，使原有两数相对，而今有数即对所求数。补古格术。格术之名及其术之概略，仅见于宋沈括《梦溪笔谈》，后人读之亦莫能解。特夫知其即光学之理，更为布算以明之。以算学释物理自特夫始。

　　十、李壬叔之以尖锥驭对数。壬叔以尖锥立术，既著《方圆阐幽》《弧矢启秘》二书，复为《对数探源》，亦以尖锥截积起算，先明其理，次详其法。自序云：“……有正数万，求其逐一相对之对数，则虽欧罗巴造表之人仅能得其数，未能知其理也。间尝深思得之，叹其精微玄妙，且用以造表，较西人简易万倍，然后知言数者不可不先得夫理也。”壬叔著书在早年，其后与西士共译各书，益自信，乃著《对数尖锥变法释》，谓己所用为正法，西人所用乃变法，而其根则同云。推衍垛积术。谓垛积为少广一支，西人代数微分中所有级数，大半皆是。近人唯汪孝婴、董方立颇知其理，而法数未备，因特阐明之。

　　十一、顾尚之之和较相求对数八术。批评杜、董、项、戴及西人《数学启蒙》中之诸新术，以为皆未尽其理，乃别为变通，任意设数，立六术以御之，得数皆合，复立还原四术，卒乃推衍之为和较相求之八术。

　　十二、夏紫笙之创曲线新术。其书名《致曲术》，曰平圆，曰椭圆，曰抛物线，曰双曲线，曰摆线，曰对数曲线，曰螺线，凡七类。皆于杜德美、项梅侣、戴鄂士、徐君青、罗密士（英人，著《代数微积拾级》者）诸术外自定新术，参互并列，法密理精，复有《致曲图解》说明之。创乘方捷术。以开各类乘方，通为摆术，可并求平方根数十位，不论益积翻积，俱为坦途，其书名《少广缒凿》。

　　上所举，不过在三部《畴人传》中阮元著初编，罗士琳续，诸可宝再续临时挦撦。我之学力，本不配讨论此学，其中漏略错误，定皆不少。但即循此以观大略，已可见此学在清代发展进步之程度为何如。以李四香、汪、明、董等推算之业视王、梅；以李四香、罗、张古余等校书补草之功视钱、戴；以徐、戴鄂士、邹、李壬叔等会通发明之绩视王、梅、李四香、汪，真有“积薪后来居上”之感。其后承以第二期西学之输入——即所谓19世纪新科学者，而当时国中学者所造，与彼相校，亦未遑多让。中国人对于科学之嗜好性及理解能力，亦何遽出欧人下耶？

　　吾叙述至此，惟忽有别的小感触，请附带一言。清代算学家多不寿，实吾学界一大不幸也。内中梅定九寿八十九，李壬叔寿七十，二老岿然绾一代终始，差足慰情。自余若焦里堂仅五十八，戴鄂士仅五十六，王寅旭、戴东原皆仅五十五；邹特夫仅五十一，邹叔绩仅四十九，马远林仅四十八，汪孝婴仅四十六，李四香、夏紫笙皆仅四十五。尤促者，熊韬之仅三十九，孔巽轩仅三十五，董方立仅三十三，左壬叟、曾栗卒年未详，大抵皆不逾四十。呜呼！岂兹事耗精太甚，易损天年耶？何见夺之速且多也。夫使巽轩、方立辈有定九寿，则所以嘉惠学界者宜何如哉？吾又感觉算学颇恃天才，故有早岁便能成家者。又洪杨之乱，学者多殉，而算家尤众。徐君青以封疆江苏巡抚死绥，固宜矣。乃若罗茗香、马远林、邹叔绩、戴鄂士、顾尚之、凌厚堂堃、张南坪福禧，皆先后及难。其余诸家遗著投灰烬者且不少。呜呼！丧乱之为文化厄，有如是也。

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