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畴人传二(3)


  顾观光,字尚之,金山人。太学生,三试不售,遂无志科举,承世业为医。乡钱氏多藏书,恒假读之。博通经、传、史、子、百家,尤究极天文历算,因端竟委,能抉其所以然,而摘其不尽然。时复蹈瑕抵隙,蒐补其未备。如据周髀“笠以写天,青黄丹黑”之文及后文“凡为此图”云云,而悟篇中周径里数皆为绘图而设。天本浑员,以视法变为平员,则不得不以北极为心,而内外衡以次环之,皆为借象,而非真以平员测天也。

  开元占经鲁历积年之算不合,因用演积术,推其上元庚子至开元二年岁积,知占经少三千六十年。又以占经颛顼历岁积考之史记秦始皇本纪,知其术虽起立春,而以小雪距朔之日为断。盖秦以十月为岁首,闰在岁终,故小雪必在十月,昔人未及言也。李尚之用何承天调日法考古历日法朔余强弱不合者十六家,以为未能推算入微。爰别立术,以日法朔余辗转相减,以得强弱之数。但使日法在百万以上皆可求,惟朔余过于强率者不可算耳。授时术以平定立三差求太阳盈缩,梅氏详说未明其故。读明志乃知即三色方程之法。谓凡两数升降有差,彼此递减,必得一齐同之数。引而伸之,即诸乘差,则八线、对数、小轮、橢员诸术,皆可共贯。读占经所载瞿昙悉达九执术,知回回、太西历法皆源于此。其所谓高月者即月孛,月藏者即月引数,日藏者即日引数,特称名不同,亦犹回历称岁实为宫日数,朔策为月分日数也。

  其论婺源江氏冬至权度,推刘宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太阳实经度,而后求两心差,乃专用壬戌。今用丁未求得两心差,適与江氏古大今小之说相反。盖偏取一端,其根误在高冲行太疾也。西法用实朔距纬求食甚两心实相距,术繁而得数未确。改以前后两设时求食甚实引径得两心实相距,不必更资实朔,较本法为简而密矣。

  西人割圜,止知内容各等边之半为正弦,而不知外切各等边之半为正切。乃依六宗、三要、二简诸术,别立求外切各等边之正切法,以补其缺。杜德美求员周术,用员内容六边形起算,巧而降位稍迟,谓内容十等边之一边,即理分中末线之大分,距周较近。且十边形之边与周同数,不过递进一位,而大分与全分相减即得小分,则连比例各率,可以较数取之。入算尤简易,可用弧度入算,不用弧背真数。然犹虑其难记,仍不能无藉于表,因又合两法用之,则术愈简,而弧线、直线相求之理始尽。钱塘项氏割圜捷术,止有弦矢求余线术,以为可通之割、切二线,因补其术。西人求对数,以正数屡次开方,对数屡次折半,立术繁重。李氏探原以尖锥发其覆,捷矣,而布算术犹繁。且所得者皆前后两数之较,可以造表而不可径求。戴氏简法及西人数学启蒙,又有新术,而未穷其理。乃变通以求二至九之八对数,因任意设数,立六术以御之,得数皆合。复立还原四术,并推衍为和较相求八术,为自来言对数者所未有也。又谓对数之用,莫便于八线,而西人未言其立表之根,因冥思力索,仍用诸乘方差,迎刃而解,尤晚岁造微之诣也。其它凡近时新译西术,如代数、微分、诸重学,皆有所纠正,类此。

  所著曰算賸初、续编凡二卷。曰九数存古,依九章分为九卷,而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢诸术附焉,皆采古书而分门隶之。曰九数外录,则隐括四术为对数、割圜、八线、平三角、弧三角各等面体、员锥三曲线、静重学、动重学、流质重学、天重学,凡记十篇。曰六历通考,则据占经所纪黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁积年而加以考证。曰九执历解,曰回回历解,皆就原法疏通证明之。曰推步简法,曰新历推步简法,曰五星简法,则就原术改度为百分,省迂回而归简易,盖于学实事求是,无门户异同之见,故析理甚精,而谈算为最云。其友人韩应陛,亦以表章算书显。

  应陛,字对虞,娄县人。道光二十四年举人,官内阁中书舍人。少好读周、秦诸子,为文古质简奥,非时俗所尚。既而从同里姚椿游,得望溪、惜抱相传古文义法。西人所创点、线、面、体之学,为几何原本,凡十五卷,明万历间利译止前六卷。咸丰初,英人伟烈亚力续译后九卷,海宁李壬叔写而传之。应陛反覆审订,授之剞劂,亚力以为泰西旧本弗及也。外若新译重、气、声、光诸学,应陛推极其致,往往为西人所未及云。

  左潜,字壬叔,大学士宗棠从子。补县学生。于诗、古文辞无不深造,尤明算理。长沙丁取忠引为忘年交。早卒,士林惜之。所学自大衍、天元及借根方、比例诸新法,无不贯通。且能自出己意,变其式,勘其误,作为图解,往往突过先民。尝增订徐有壬割圜缀术,既成,忽悟通分捷法析分母、分子为极小数,根同者去之,凡多项通分,顷刻立就。因演数草,为通分捷法一帙。

  所譔缀术补草四卷,自序曰:“自泰西杜德美创立割圜九术,以屡乘屡除通方圜之率,我朝明氏、董氏各为之说,而杜书之义,推阐靡遗。顾八线互求,尚无通术,未足以尽一圜之变,非明氏、董氏之智力,不能因法立以尽其变也。其能穷杜氏之义也,资于借根方;其不能广杜氏之法也,亦限于借根方。盖借根方即天元一之变术,究不如元术之巧变莫测也。是书祖杜宗明,又旁参以董氏之法,八线相求,各立一式,因式立法,因法入算。乡之不可立算者,今皆能驭之以法,即有不能立法布算者,而其式存,则能济法之穷;而度圜诸线,一以贯之矣。推其立式之由,所谓比例术,即明氏定半径为一率,所有为二率或三率之法也。所谓还原术,即明氏弧背求正矢,又以正矢求弧背之法也。所谓借径术,即明氏借十分全弧通弦率数求百分全弧通弦率数,求千分全弧通弦率数诸法也。所谓商除法,又即还原术之变法。是故缀术胎于明氏,而又足以尽明氏之变。明氏之未立式者,以借根方取两等数,其分母、分子杂糅繁重,既不可通,其多号、少号,辗转互变,又不可约。试取明氏书驭之以缀术,其递降各率,顷刻可求。则是书也,其真能因法立法,别树帜于明、董之后者欤?书为徐君青先生所作,吴君子登成之,顾详于式而略于草。敬考其立法之原,不可遽得,学者难焉,潜因于暇日为补草四卷,因缀数语于简端云。”

  又譔缀术释明二卷,湘乡曾纪鸿为之序,略曰:“易系云:‘极其数遂定天下之象。’则综天下难定之象以归有定,莫数若矣。在昔圣神,制器尚象,利物前民,于数理必有究极精微,范围后世者,代久年湮,渐至失传。近三百年,泰西犹能推阐古法,而中国才智之士,或反率其成辙。孔子曰:‘天子失官,学在四夷。’正今日数学之谓也。中国旧有弧矢算术,而未标角度八线钤表,则虽有用其理以入算者,而无表可检。则每求一数,必百倍其功,而所得数仍非密率。明代译出泰西八线表及八线对数表,覈其立法得数之原,甚属繁难,而成表之后,一劳永逸。大至无外,细及极微,莫不以此表测之,则其用之广大可想。然得表之后,虽无事于再求,而任举一数,无从较其讹误。若仍用旧术,则非币月经旬,不能得一数,此明静菴、董方立推演杜德美弧矢捷术之所以可贵也。向来求八线者,例用六宗、三耍、二简各法,若任言一弧,必不能考其弦矢诸数。至杜氏创立屡乘屡除之法,则但有弧径,而八线均可求。董方立解杜术,先取其线之极微者,令与与弧线合,而后用连比例以推至极大。又考诸率数与尖锥理相合,故用尖锥以释弧矢,而弧矢之数理以显。明静菴解杜术,先取四分弧与十分弧之通弦直线之极大者,用连比例以推至千分、万分弧通弦之极微者,考其乘除之率数,与杜术乘除之原理合,故用缀术以释弧矢,而弧矢之数理亦出。董、明二氏,均为弧矢不祧之宗,无庸轩轾。迩百年中继起者,如戴、徐、李三氏所著书,虽自出心裁,要皆奉董、明为师资也。吾友左君壬叟,于数学尤孜孜不倦,遇有疑难,必穷力追索,务洞澈其奥窔。尝谓方员之理,乃天地自然之数,吾之宗中宗西,不必分畛域,直以为自得新法也可。曾释君青徐氏缀术,又释戴鄂士求表捷术,兹又释明静菴弧矢捷术,而一贯以天元寄分之式,于员率一道三致意焉,可谓勤矣。孰意天厄良才,壬叟竟于甲戌秋不永年而逝,凡在同人,无不叹惜!况余与之为两世神交,安能无怆切耶!”

  曾纪鸿,字栗诚,大学士国藩少子。恩赏举人。早卒。纪鸿少年好学,与兄纪泽并精算术,尤神明于西人代数术。锐思勇进,创立新法,同辈多心折焉。谓大衍求一术亦可以代数推求,依题演之,理正相通,撰对数详解五卷,始明代数之理,为不知代数者开其先路。中言对数之理,末言对数之用,明作书之本意。其于常对、讷对,辨析分明。先求得各真数之讷对,复以对数根乘之,即为常对数。级数朗然,有条不紊,虽初学循序渐进,无不可相说以解焉。

  夏鸾翔,字紫笙,钱塘人。以输饷议叙,得詹事府主簿。为项梅侣入室弟子。讲究曲线诸术,洞悉员出于方之理。汇通各法,推演以尽其变,譔洞方术图解二卷,自序略曰:“自杜氏术出,而求弦矢得捷径焉。顾犹烦乘除,演算终不易,思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏,客都门,细思连比例术者,尖堆底也。尖堆底之比例,与诸乘方之比例等。以之求连比例术,必合诸乘方积而并求之。设不得诸乘方积递差之故,方积何能并求?且并求方积而欲以加减代乘除,又必得诸较自然之数而后可,诚极难矣。既而悟曰,方积之递加,加以较也。较之递生,生于三角堆也。较加较而成积,亦较加较而成较。且诸乘方积之数与诸乘尖堆之数,数异而理同。三角堆起于三角形,故屡次增乘,皆增以三角。方积起于正方形,故累次增乘,皆增以正方。三角之较数,增一根则增一较;方积之较数,增一乘则增一较,理正同也。累次相较,较必有尽,惟其有尽,乃可入算。相连诸弦矢所以愈相较而较愈均者,正此理矣。诸较之理,皆起于天元一,而生于根差。递加根一,诸乘方根差皆一。一乘之数不变,故可省乘。若增其根差,非复单一,则乘不能省。弦矢弧背之差,或一秒,或十秒,即以一秒、十秒弧线当根差,按根递求,即可尽得诸乘方之较。以较加较,即尽得所求弦矢各数矣,岂不捷哉!爰演为求弦矢术,俾求表者得以加减代乘除。并细绎立术之义,以俟精于术数者采择。”

  又譔致曲术一卷,曰平员,曰橢员,曰抛物线,曰双曲线,曰摆线,曰对数曲线,曰螺线,凡七类。类皆自定新术,参差并列,法密理精。复著致曲图解一卷,谓天为大员,天之赋物,莫不以员。顾员虽一名,形乃万类。循员一匝,而曲线生焉。西人以线所生之次数分为诸类,一次式为直线;二次式有平员、橢员、抛物线、双曲线四式;三次式有八十种;四次式有五千余种;五次以上,殆难以数计矣。今但二次式四种,溯其本源,并附解诸乘方。抛物线形虽万殊,理实一贯。诸曲线式备具于员锥体,员锥者,二次曲线之母也。橢员利用聚,抛物线利用远,双曲线利用散,其理皆出于平员。苟会其通,则制器尚象,仰观俯察,为用无穷矣。今为一一解之,其目为诸曲线始于一点终于一点第一,诸式之心第二,准线第三,规线第四,横直二径第五,兑径亦名相属二径第六,两心差第七,法线切线第八,斜规线又名曲率径第九,纵横线式第十,诸式互为比例第十一,八线第十二。

  又尝立捷术以开各乘方,不论益积、翻积,通为一术,俱为坦途,可径求平方根数十位,成少广縋凿一卷。

  鸾翔同治三年卒。因方积之较而悟求求弦矢之术,骎骎乎驾西人而上之,然微分所弃之常数,犹方积之方与隅也。所求之变数,犹两廉递加之较也。其术施之曲线,无所不通,鸾翔犹待逐类立术,是则不能不让西人以独步。然西法开方,自三次式以上,皆枝枝节节为之,不及中法之一贯。鸾翔又于中法外独创捷术,非西人所能望其项背云。


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