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畴人传二(2)


  骆腾凤,字鸣冈,山阳人。嘉庆六年举人,道光六年,大挑一等,用知县。以母老不原仕,改授舒城县训导。未一年,告养归,教授里中,学徒甚众。二十二年八月,卒于家,年七十有二。性敏锐,好读书,尤精畴人术。在都中从钟祥李潢学,研精覃思,寒暑靡间。

  著开方释例四卷,自序略谓:“天元一术,见宋秦九韶大衍数中,不言创于何人。元李冶测圆海镜、益古演段二书,亦用此例。冶称其术出于洞渊九容,今不可详所自矣。是书自平方以至多乘,悉用一术,即刍童、羡余诸形,亦可握觚而得,洵算术之秘钥也。西法借根方实原于此,乃以多少代正负,徒欲掩其袭取之迹。不知正负以别异同,多少以分盈朒,毫釐千里,必有能辨之者。”

  又著游艺录二卷,自识云:“余于正、负开方之例,既为释例以明其法矣。至于衰分方程、句股等法,以及九章所未载,与夫古今算术之未能该洽者,辄为溯其源,正其误。不敢掠前哲之美以为名,亦不为黯黮之词以欺世也。随所见而识之,汇为一编。”遗稿凡十余万言,即今传本也。

  南汇张文虎尝与青浦熊户部其光书论之曰:“承示骆司训算书二种,读竟奉缴。李四香开方说,详于超步、商除、翻积、益积诸例,而不言立法之根,令初学者茫不解其所谓。骆氏于诸乘方、方廉、和较、加减之理,皆质言之,而推求各元进退、定商诸术,尤足补李书所未备,诚学开方者之金锁匙。汪孝婴创设两句股同积同句股和一问,以两句弦较中率转求两句弦较,立术迂回。骆氏以正、负开方径求得两句,颇为简易。衡斋亦当首肯也。”其为人所推服如此。

  项名达,字梅侣,仁和人。嘉庆二十一年举人,考授国子监学正。道光六年,成进士,改官知县,不就,退而专攻算学。三十年,卒于家,年六十有二。著述甚富,今传世者,但有下学庵句股六术及图解,复附句股形边角相求法三十二题,合为一卷。以句股和较相求诸题术稍繁难,爰取旧术稍为变通。分术为六,使题之相同者通为一术,釐然悉有以御之。第一、二、三术及第四术之前二题,悉本旧解,余为更定新术,皆别注捷法,各为图解,以明其意。第四、五、六术其原皆出于第三术,可释之以比例。第三术以句弦较比股,若股与句弦和,以股弦较比句,若句与股弦和,是为三率连比例。凡有比例加减之,其和较亦可互相比例。故第四、五、六术诸题,皆可由第三术之题加减而得,即可因第三术之比例而另生比例。因比例以成同积,而诸术开方之所以然遂明。名达又创有弧三角总较术,求橢员弧线术,术定,未有诠释,以义奥趣幽,难猝竟事,故六术独先成云。

  名达与乌程陈杰、钱塘戴煦契最深,晚年诣益精进,谓古法无用,不甚涉猎,而专意于平弧三角,与杰意不谋而合。与杰论平三角,名达曰:“平三角二边夹一角,迳求斜角对边,向无其法,窃尝拟而得之,君闻之乎?”杰曰:“未也。”录其法以归。盖以甲乙边自乘与甲丙边自乘相加,得数寄左;乃以半径为一率,甲角余弦为二率,甲乙、甲丙两边相乘倍之为三率,求得四率,与寄左数相减,钝角则相加,平方开之,得数即乙丙边。

  又尝谓泰西杜德美之割圜九术,理精法妙,其原本于三角堆,董方立定四术以明之,洵为卓见。惟求倍分弧,有奇无偶,徐有壬补之,庶几详备。名达尝玩三角堆,叹其数祗一递加,而理法象数,包蕴无穷,夫方圜之率不相通,通方圜者必以尖,句股,尖象也;三角堆,尖数也。古法用半径屡求句股得圜周,不胜其繁。杜氏则以三角堆御连比例诸率,而弧弦可以互通,割圜术蔑以加矣。然以此制八线全表,每求一数,必乘除两次,所用弧线,位多而乘不便,董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思别立简易法,因从三角堆整数中推出零数,但用半径,即可任求几度分秒之正余弦,不烦取资于弧线及他弧弦矢。且每一乘除,便得一数,似可为制表之一助。

  又著象数原始一书,未竟,疾革时,嘱戴煦。后煦索稿于名达子锦标,校算增订六阅月而稿始定,都为七卷。原书之四,仅六纸,并第七卷皆煦所补也。卷一曰整分起度弦矢率论,卷二曰半分起度弦矢率论,卷三、卷四曰零分起度弦矢率论,皆以两等边三角形明其象,递加法定其数,末乃申论其算法。卷五曰诸术通诠,取新立弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术及杜、董诸术,按术诠释之。卷六曰诸术明变,杂列所定弦矢求八线术,开诸乘方捷术,算律管新术,橢员求周术,以明皆从递加数转变而得。卷七曰橢员求周图解,原术以袤为径,求大员周及周较,相减而得周,补术则以广为径,求小员周,周较相加而得周,末系以图解。徐有壬巡抚江苏,邮书索煦写定本梓行,刻甫就而有壬殉难,书与板皆毁焉。

  有王大有者,字吉甫,仁和诸生。翰林院待诏。穷究天算,问业于处士戴煦。凡煦所著述,皆录副本去,名达见之,因与煦订交。大有尝校割圜捷术合编。后殉于杭州。

  丁取忠,字果臣,长沙人。研究象数,不求闻达,刻算书二十有一种,为白芙堂丛书。光绪初,卒于家,年逾七十。所自譔者为数学拾遗一卷,以所演算草较详,可便初学,又意在拾遗,故未暇详其义之出自何人。

  又譔粟布演草二卷,自序曰:“道光壬辰,余始习算,友人罗寅交学博洪宾以难题见询,久无以应。同治初元,始获交南丰吴君子登太史,驭以开屡乘方法,余始通其术,然未悉其立法之根也。后吴君游岭表,余推之他题,及辗转相求,仍多窒碍。又函询李君壬叔,蒙示以廉法表及求总率二术,而其理始显。后吴君又示以指数表及开方式表,李君复为之图解以阐其义。由是三事互求,理归一贯。余因取数题详为演草,并捷法图解,都为一卷。质之南海邹君特夫,君复为增订开屡乘方法,并另设题演草,补所未备。即算家至精之理,如圜内容各等边形,皆可借发商生息以明之,诚快事也!”

  后又譔演草补一篇,序云:“余前年与左君壬叟共辑粟布演草,原为商贾之习算者设,或一例而演数题,或一题而更数式。或用真数,或用代数。其式或横列,或直下,杂然并陈,无非欲学者比类参观,易于领悟也。乃初学习之,犹谓茫无入门处,盖商贾所习算书,大都详于文而略于式。况代数又古算术所无,宜其卒然览之而不解也。兹更拟一题附后,特仿数理精蕴借根方体例,专详于文,庶初学读之,可因文知义。算理既明,则全书各式,可涣然冰释,或兼可为习代数者之先导乎?”其乡人李锡蕃,亦以演算名。

  锡蕃,字晋夫。道光三十年早卒,著有借根方句股细草一卷,衍为二十有五术,取忠刊入丛书。

  谢家禾,字和甫,钱塘举人。与同学戴氏兄弟熙、煦相友善。少嗜西学,点线面体四部,靡不淹贯。已,复取元初诸家算书,幽探冥索,悉其秘奥。乃辑平时所得析通分加减,定方程正负,以标举立元大耍,撰演元耍义一卷。其自序云:“元学至精且邃,而求其要领,无过通分加减,凡四元之分正负,及相消法,互隐通分法,大致原于方程。方程者,即通分之义。方程不明,由于正负无定例,加减无定行,以讹传讹,如梅宣城精研数理,未暇深究,他书可知矣。九章算经正负术甚明,而释者反以意度,古谊之不明,可胜道哉!唯以衍元之法正方程之义,由是方程明而元学亦明。著演元要义,综通分方程而论列之,附以连枝同体之分等法。通乎此,则四元庶可窥其涯涘耳。”

  又以刘徽、祖冲之之率求弧田,求其密于古率者,撰弧田问率一卷。同里戴煦为之序曰:“古率径一周三,徽率刘徽所定,径五十周一百五十七也。密率乃祖冲之简率,径七周二十二也。诸书弧田术皆用古率,郭太史以二至相距四十八度,求矢亦用古法。顾徽、密二率之周既盈于古,则积亦盈于古,试设同径之圆,旁割四弧,其中两弦相得之方三率皆同,知三率圆积之盈缩,正三率弧积之盈缩也。徽、密二率弧田古无其术,惟四元玉鉴一睹其名,而设问隐晦,莫可端倪。谷堂得其旨,因依李尚之孤矢算术细草设问立术,亦足发前人所未发也。”

  又以直横与句股弦和较辗转相求,撰直积回求一卷,其自序云:“始戴谔士著句股和较集成,予亦著直积与和较求句股弦之书,然二书为义尚浅,且直积与句弦和求三事,用立方三乘方等,得数不易,而又不足以为率,其书遂不存。近见四元玉鉴直积与和较回求之法,多立二元,尝与谔士思其义蕴,有不必用二元者。盖以句弦较与句弦和相乘为股幂,股弦和与股弦较相乘为句幂,而直积自乘,即句幂股幂相乘也。如以句弦较乘股弦较幂,除直积幂,即为句弦和乘股弦和幂矣。句弦和乘股弦和幂,即弦幂和幂共内少半个黄方幂也。盖相乘幂内去一弦幂,所余为句股相乘者一,句弦相乘者一,股弦相乘者一,此三幂合成和幂,则少一半黄方幂。半黄方幂,即句弦较股弦较相乘幂也。加一半黄方幂,即为弦幂和幂共矣。加二直积,即二和幂也。减六直积,即二较幂也。又句弦和乘股弦较幂,为句幂内少个句股较乘股弦较幂也。股弦和乘句弦较幂,为股幂内多个句股较乘句弦较幂也。减一句股较乘股弦较幂,尚余一句股较幂矣。术中精意,皆出于此。其他之参用常法者,可不解而自明耳。草中既未暇论,恐习者不知其理,因揭其大旨于简端,见演段之不可不精也。”

  家禾殁后,戴熙搜遗稿,嘱其弟煦校雠而授诸梓。煦精算,见忠义传。著有补重差图说,句股和较集成消法简易图解,对数简法,外切密率,假数测圆,及船机图说等。

  吴嘉善,字子登,南丰人。咸丰十一年进士,改翰林院庶吉士,散馆授编修。与徐有壬同治算学。同治改元,避粤匪乱游长沙,识丁取忠。逾年,客广州,因邹伯奇又识钱塘夏鸾翔。三人志同道合,相得益彰。光绪五年,奉使法兰西,驻巴黎。后受代还,旋卒。

  所譔算书,首述笔算。次九章翼,曰今有术,曰分法,曰开方,曰平方平员各术。推演方田者,曰立方立员术,推演商功者,曰句股,曰衰分术,曰盈不足术,曰方程术。于句股术后,次附平三角、弧三角测量高远之术。又次则专述天元四元之书,为天元一术释例,为名式释例,为天元一草,为天元问答,为方程天元合释,为四元名式释例并草,为四元浅释。自序曰:“算学至今日,可谓盛矣。古义既彰,新法日出,前此所未有也。余与丁君果臣皆癖此,既忘其癖,更欲以癖导人。尝苦近世津逮初学之书无善本,梅文穆公所删之算法统宗,今亦不传。因商榷述此,取其浅近易晓,以为升高行远之助云。”

  罗士琳,字茗香,甘泉人。以监生循例贡太学,尝考取天文生。咸丰元年,恩诏徵举孝廉方正之士,郡县交荐,以老病辞。三年春,粤匪陷扬州,死之,年垂七十矣。少治经,从其舅江都秦太史恩复受举业,已乃弃去,专力步算,博览畴人书,日夕研求数年。

  初精西法,自譔言历法者曰宪法一隅。又思句股、少广相表里,而方田与商功无异,差分与均输不殊。按类相从,摘九章中之切于日用者,悉以比例驭之,汇为十二种。以各定率冠首,以借根方继后,以诸乘方开法附末,凡四卷,曰比例汇通,虽悔其少作,实便初学问途。

  后见四元玉鉴,服膺叹绝,遂壹意专精四元之术。士琳博文强识,兼综百家,于古今算法尤具神解,以朱氏此书实集算学大成,思通行发明,乃殚精一纪,步为全草,并有原书于率不通及步算传写之讹,悉为标出,补漏正误,反覆设例,申明疑义,推演订证。就原书三卷二十有四门,广为二十四卷,门各补草。

  尝为提要钩元之论,谓:“是书通体弗出九章范围,不独商功修筑、句股测望、方程正负已也。如端匹互隐、廪粟回求寓粟布,如意混和寓借衰,茭草形段、果垛叠藏,如像招数寓商功中之差分,直段求源、混积问元、明积演段、拨换截田、锁套吞容寓方田、少广诸法。他若分索隐之为约分命分,方员交错、三率究员、箭积交参之为定率兼交互。至于或问歌彖、杂范类会,以其各自为法,不能比类。故一则寄诸歌词,一则编成杂法,均似补遗。大旨皆以加、减、乘、除、开方、带分六例为问,每门必备此例,略简易而详繁难,尤于自来算书所无者,必设二问以明之。如混积问元中既设种金田及句三股四八角田为问。拨换截田中复设半种金田,锁套吞容中复设方五斜七八角田为问。又果垛叠藏两设员锥垛,杂范类会既设徽率割员,又设密率割员是矣。更有一门专明一义者,如和分索隐之分开方,三率究员两仪合辙之反覆互求是矣。是书但云如积求之,如积有用定率为同数相消者,有如问加减乘除得积为同数相消者。祖序谓:‘平水刘汝谐撰如积释锁,惜今不传。’意者其释此例欤?”

  道光中,得朱氏算学启蒙于京师厂肆,士琳复加斠诠刊布之。此书总二十门,凡二百五十九问,其名术义例多与玉鉴相表里。士琳为之互斠,始于天元,终于四元,义主精邃,所得甚深。考大德四年莫若序,计后此书四年。此书首列乘除布算诸例,始于超径等接之术,终于天元如积开方,由浅近以至通变,循序渐进,其理易知。名曰启蒙,实则为玉鉴立术之根,此一证也。玉鉴原本十行,行十九字,“今有”低一格,“术曰”又低二格,与此书同,此二证也。玉鉴斗斛之“斗”别作“貐”,此假借字,本汉书平帝纪及管子乘马篇,尚杂见于唐以前之孙子、五曹、张丘建诸算经,钧石之“石”,说文本作“柘”,玉鉴作“硕”,“硕”“石”古虽互通,然假“硕”为“石”,则仅见于毛诗甫田疏引汉书食货志,而算书罕见,又玉鉴琼田之“琼”,虽见李籍九章音义,为字书所无,此书并同,此三证也。玉鉴虽亦三卷,而门则为二十四,问则二百八十八,较多此书四门二十九问,然以四字分类,其体裁同。且如商功、修筑、方程、正负之属,则又二书互见,此四证也。玉鉴如意混和第一问,据数知一秤为十五斤,適与此书之斤秤起率合,此五证也。玉鉴锁套吞容第九问,方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十诸问,有小平小长,皆向无其术。此书卷首明乘除段,即载平除长为小长,长除平为小平之例。其田亩形段第十五问,复载方五斜七八角田求积通术,此六证也。他如玉鉴或问歌彖第四问,与此书盈不足术第七问,又玉鉴果垛叠藏第十四问,与此书堆积还原第十四问,又玉鉴方程正负第四问,与此书方程正负第五问,题皆约略相同,此七证也。知系朱氏原书佚而复出,并其算法一则,亦为附列,间有鱼豕,悉仍其旧,但各标识于误字旁,别记刊误于卷末。

  又尝以乾隆间明氏捷法校得八线对数表,一度十三分二十秒正切第五字“0”误“一”;又六度四十一分十秒正切第五字“0”误“六”;又十二度五十分正弦第六字“七”误“五”;又十六度三十二分十秒正切第七字“九”误“0”;又四十二度三十二分四秒正切第九字“五”误“四”。可见西人所能,中人亦能之。

  又因会通四元玉鉴如像招数一门,更取明氏捷法,御以天元,知密率亦可招差,其弧与弦矢互求之法,与授时历之垛积招差一一符合。且以祖氏缀术失传,其法廑见于秦书,即大衍之连环求等递减递加,亦与明氏捷法相近。爰融会诸家法意,撰缀术辑补二卷。

  又甄录古今畴人,仍阮氏体例为列传,采前传所未收者,得补遗十二人,附见五人,续补二十人,附见七人,合共四十有四人,次于前传四十六卷之后。

  集所校著都为观我生室汇十二种。如四元玉鉴细草二十四卷,释例二卷,校正算学启蒙三卷,校正割圜密率捷法四卷,续畴人传六卷,皆别有单行本。

  外已刻者尚得七种,曰句股容三事拾遗三卷,附例一卷,本绘亭监副博启法补其遗,取内容方边员径垂线交互相求,一以天元驭之。曰三角和较算例一卷,取斜平三角形中两边夹一角术镕入天元法,用和较推演成式。曰演元九式一卷,括玉鉴中进退消长诸例,借无数之数,以正负开方式入之。曰台锥积演一卷,以玉鉴茭草、果垛二门可补少广之阙,爰取台锥形段引而伸之。曰周无专鼎铭考一卷,以四分周术佐以三统汉术,推得宣王十有六年九月既望甲戌,与铭辞正合。曰弧矢算术补一卷,以元和李四香原术未备,为增补二十七术,合成四十术。曰推算日食增广新术一卷,推广正升斜升横升之算法,以求太阴随地随时之明魄方向分秒,复推其术,以求交食限内之方向,及所经历之诸边分。

  余若春秋朔闰异同考、缀术辑补交食图说举隅、句股截积和较算例、淮南天文训存疑、博能丛话,凡若干卷,未有刻本。其同县友有易之瀚者,亦以算名。

  易之瀚,字浩川。知士琳有四元玉鉴补草,因从问难,为撰四元释例一卷。凡开方例二十九则,天元例十一则,四元例十三则。


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